Esta es la entrega número 300 de El juego de la ciencia, lo cual es un buen pretexto para dedicársela a este número singular. O, más que singular, “abundante” o “excesivo”, que es como se denominan los números que son menores que la suma de sus divisores sin incluir el propio número, o lo que es lo mismo, su doble es menor que la suma de todos sus divisores incluido el propio número. Los divisores de 300 son:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300
Su suma, 868, es mayor que 2 x 300 = 600, luego 300 es abundante, y su “abundancia” es 868 – 600 = 268.
Los números abundantes son bastante abundantes: entre los 100 primeros números naturales hay 22 abundantes:
12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100
A la vista de esta lista, parecería que todos los números abundantes son pares. ¿Es así? ¿Puedes encontrar un número abundante impar que lo desmienta?
Como anécdota, cabe señalar que, al margen de las matemáticas, el número 300 es “abundante” en otro sentido: los famosos 300 de Leónidas cundieron tanto porque en realidad eran unos 6.000 (300 hopilitas espartanos de pura cepa y varios miles de guerreros más).
El 300 también es uno de esos números poligonales de los que nos hemos ocupado en semanas anteriores; pero ¿cuál concretamente?
Y también es la suma de dos primos gemelos (dos impares consecutivos primos): 300 = 149 + 151, y, más difícil todavía, es la suma de diez primos consecutivos, ¿cuáles son?
Por último, 300 es un número de Harshad (“gran alegría” en sánscrito), lo que significa que es divisible por la suma de sus dígitos (300 es divisible por 3). Entre los 100 primeros números naturales hay 33 números de Harshad:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100
Evidentemente, en cualquier base los números de una cifra son números de Harshad.
Teselado
Ha quedado pendiente un problema de la semana pasada: ¿Qué ahorro de pegamento supone formar una superficie con teselas hexagonales pegadas por los bordes con respecto a una superficie equivalente formada por cuadrados de la misma área? Siguiendo una norma no escrita de la sección, no daré la solución hasta que algún lector se anime a resolverlo; pero es un buen pretexto para hablar del teselado.
Los teselados más conocidos son los regulares, estudiados por Arquímedes ya en el siglo III a. C. Como hemos visto en más de una ocasión, solo hay tres polígonos regulares que pueden teselar el plano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
También son muy frecuentes, en todo tipo de embaldosados y recubrimientos decorativos, los teselados semirregulares, formados por dos o más polígonos regulares, pero no dispuestos de cualquier manera, sino repitiendo siempre un mismo patrón (en la figura, un teselado semirregular formado por hexágonos regulares y triángulos equiláteros). Puede parecer que esta fórmula da mucho juego, pero no hay muchos teselados irregulares distintos. ¿Cuántos son?
Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.
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