Por su nombre, podríamos pensar que los números imaginarios son una idea fantasiosa, que habita en un mundo mágico, paralelo a nuestra realidad. Sin embargo, no son ni más ni menos tangibles que cualquier otro tipo de número —eso sí, su motivación es un poco más sofisticada que hacer recuentos o dividir el terreno—. Su papel, fundamental en numerosas áreas de las matemáticas, pero también en física e ingeniería, tardó siglos en ser comprendido por la comunidad matemática.
Los números imaginarios nacieron en el siglo XVI, en el contexto del estudio de ecuaciones polinómicas como x² + 1 = 0.
Esta ecuación no tiene soluciones entre los números reales: no existe ningún número real que, al multiplicarlo por sí mismo, sea igual a -1. Frente a esta limitación, los matemáticos inventaron un número con esa propiedad, al que llamaron i. El primero en trabajar con raíces de números negativos fue Girolamo Cardano (Italia, 1501 — 1576), pero fue Rafael Bombelli (Italia, 1526 — 1572) el que desarrolló el concepto. Sin embargo, la importancia e influencia de estos trabajos fue limitada y, durante mucho tiempo, los números imaginarios fueron como ese conocido ligeramente molesto con quien hay que convivir, pero al que todo el mundo trata de no hacer demasiado caso.
A partir de los imaginarios se definen los números complejos: son números con la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es el número imaginario. Los números a y b se llaman, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo a + bi. Por ejemplo, 2 + 3i o 1- i son números complejos. También podemos ver los números reales como números complejos con la parte imaginaria igual a cero.
Uno de los aspectos clave de los números complejos es que cualquier polinomio tiene un número de raíces complejas –contando repeticiones– igual al grado del polinomio, es decir, el mayor exponente al que está elevada la variable. Este enunciado es conocido como el teorema fundamental del álgebra, y fue demostrado por primera vez, de forma paralela, por el matemático amateur Jean-Robert Argand (Francia, 1768 – 1822) y el gran matemático Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777 – 1855), a principios del s. XIX.
A través de los siglos, los números complejos pasaron de ser un artefacto teórico ideado para enfrentarse a la resolución de ecuaciones polinómicas a ser un elemento de importancia central en prácticamente todas las áreas de las matemáticas. Por ejemplo, la conocida hipótesis de Riemann —uno de los problemas del milenio del Instituto Clay, cuya solución está premiada con un millón de dólares— relaciona la distribución de los números primos con los puntos donde se anula una función compleja —es decir, que toma valores complejos—, llamada la función zeta de Riemann, introducida por el matemático Bernhard Riemann (Alemania, 1826 — 1866) en 1859.
Más allá de las matemáticas, los números complejos tienen un papel fundamental en muchas ramas de la física y la ingeniería, especialmente en aquellas que estudian fenómenos de naturaleza oscilatoria (ondas), como la teoría cuántica de campos, la mecánica de fluidos o el procesamiento de señales. Un caso importante surge en ingeniería eléctrica, más concretamente en el estudio de la corriente alterna. Este tipo de corriente –la que usamos en casa– fue desarrollada en gran medida por Nikola Tesla (Serbia, 1856 – 1943) y fue crucial para el desarrollo de la Segunda Revolución Industrial, ya que permitió el transporte de grandes cantidades de energía de manera eficiente.
Pues bien, la naturaleza oscilatoria de la corriente alterna hace que ciertas magnitudes involucradas tengan un comportamiento que puede explicarse fácilmente usando los números complejos. Por ejemplo, la oposición al paso de la corriente eléctrica, que recibe el nombre de impedancia, es un número complejo, donde la parte real representa la resistencia y la parte imaginaria la reactancia. El cálculo de este tipo de instalaciones eléctricas, utilizando números complejos, permite que puedan tener un mejor rendimiento. Otro ejemplo son las instalaciones trifásicas –utilizadas para el transporte de electricidad y aquellos montajes que requieran de una cierta potencia–, que basan su diseño en una propiedad sencilla algebraica de las raíces complejas de la unidad.
Además de en este caso, en la descripción de muchos fenómenos oscilatorios aparecen cálculos complicados con senos y cosenos, que se convierten en sencillas manipulaciones algebraicas usando el lenguaje de números imaginarios. Para ello, se emplea la fórmula de Euler, que traduce escribe senos y cosenos en expresiones términos de la función exponencial, mucho más fácil de manejar.
La historia de los números complejos ejemplifica una cualidad fundamental de las matemáticas: que un avance teórico, en apariencia un tanto artificial, se puede convertir en el momento menos pensado, en un pilar del progreso tecnológico que trasciende a las matemáticas.
Javier Aramayona es científico titular en el Consejo Superior de Investigaciones Científicas, miembro del ICMAT y codirector de la Unidad de Cultura Matemática de ICMAT.
Jorge Escalante es ingeniero de edificación, arquitecto técnico y profesor de secundaria y bachillerato.
Ágata Timón es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.
Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.
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