Si le dijésemos a un oftalmólogo, no especialista en óptica, que la geometría diferencial ha sido crucial para entender la formación de imágenes en el ojo humano, quizá nos mirase con expresión incrédula. Pero no menos escéptica sería la actitud de un matemático, no experto en geometría diferencial, si le contásemos que un oftalmólogo sueco y premio Nobel de Medicina, Allvar Gullstrand, hizo relevantes descubrimientos en geometría diferencial intentando entender, de forma geométrica, el astigmatismo.
Gullstrand nació el 5 de junio de 1862 en Landskrona, Suecia, y falleció el 28 de julio de 1930 en Estocolmo. Como estudiante de instituto manifestó un gran interés por las matemáticas y, en particular, por la geometría diferencial, que había aprendido de manera autodidacta y que sería su gran pasión durante toda la vida. Sin embargo, aunque pensó en hacer una carrera en ingeniería, finalmente, influido por su padre, eligió estudiar Medicina. Una vez graduado, se especializó en óptica visual, un área a caballo entre la óptica, optometría y oftalmología. Esta es una rama del conocimiento que estudia el ojo como un instrumento óptico, es decir, que busca entender cómo los elementos ópticos del ojo –córnea y cristalino– forman imágenes en la retina –la película fotográfica del ojo–.
Uno de los pilares de la óptica geométrica fue el modelo matemático de la formación de imágenes en el ojo propuesto por Alhacén en el siglo X
Uno de los pilares de la óptica geométrica fue el modelo matemático de la formación de imágenes en el ojo propuesto por Alhacén en el siglo X. Este enunciaba que al observar un objeto dentro del ojo se formaba una imagen visual que correspondía, punto a punto, con el objeto contemplado. Por tanto, la visión se podía modelizar como una relación entre conjuntos de puntos; a cada punto P del objeto real le hacía corresponder otro, el punto imagen P’. Esta correspondencia matemática se producía, ya que de P emanaba un rayo principal que, pasando a través del centro de la pupila, llegaba a P’.
Durante los nueve siglos siguientes se trató de ampliar este modelo analizando, no solo lo que pasaba con este rayo principal, sino también con otros rayos que también emanaban de la misma fuente puntual y que entraban dentro del ojo. Ya en el siglo XIX, los investigadores en óptica geométrica observaron que, si se escogen unos pocos rayos alrededor de uno de estos rayos principales y se estudia lo que pasa en la imagen, pueden ocurrir varios fenómenos.
En primer lugar, que todos los rayos converjan en un mismo punto situado en la retina; entonces se forma una imagen puntual perfecta. En segundo lugar, que el punto de convergencia esté delante de la retina, y entonces aparece la miopía. Por último, que esté detrás de la retina, lo que corresponde a la hipermetropía. En los dos últimos casos, en la retina se genera una imagen puntual emborronada de manera circular. Pero, además, también puede ocurrir que los rayos no converjan en un único punto, y que el emborronamiento no tenga forma circular sino elíptica. En esta situación, el eje mayor de la elipse marca la dirección preferente de emborronamiento, lo que se denomina eje del astigmatismo.
Gullstrand investigó en detalle las propiedades geométricas de estos rayos cercanos al rayo principal. En concreto, estudió el frente de onda, una superficie asociada a esos rayos y perpendicular a todos ellos
Gullstrand investigó en detalle las propiedades geométricas de estos rayos cercanos al rayo principal. En concreto, estudió el frente de onda, una superficie asociada a esos rayos y perpendicular a todos ellos. Gullstrand se percató de que cuando el astigmatismo es cero –lo que en geometría diferencial equivale a decir que el frente de onda posee un punto umbilical–, entonces se produce un cambio abrupto –que denominamos singularidad matemática– en la región donde convergen los rayos llamada superficie focal.
Además, Gullstrand analizó y clasificó los diferentes tipos de singularidades matemáticas que aparecen. En concreto, descubrió una manera particular de diferenciar entre distintos tipos de puntos umbilicales, algo que antes sólo había sido abordado, con menor éxito, por el matemático Jean G. Darboux. Estos resultados fueron aportaciones de gran importancia en geometría diferencial.
Estas y otras notables contribuciones a la teoría matemática de la formación de imágenes dentro del ojo le hicieron merecedor del Nobel de medicina en 1911. Pese a este reconocimiento, el trabajo de Gulltrand no tuvo, en su momento, un gran impacto en la comunidad científica. Dos razones apuntan a ello: por un lado, su obra se publicó mayoritariamente en sueco; por otro, al trabajar entre dos campos tan aparentemente dispares, fue un incomprendido. Ni los oftalmólogos entendían las matemáticas que incorporaban sus investigaciones; ni los matemáticos se tomaban muy en serio el trabajo matemático de un oftalmólogo.
Sin embargo, los descubrimientos de Gullstrand ejemplifican la importancia que tiene para la ciencia moderna la interdisciplinariedad como generadora de nuevo conocimiento. Otra muestra de ello es un reciente trabajo que aúna geometría y óptica, sobre lentes progresivas, del que hablaremos en un próximo artículo de esta sección.
Sergio Barbero es investigador en el Instituto de Óptica del Consejo Superior de Investigaciones Científicas
María del Mar González es investigadora en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT
Ágata Timón G-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT y editora y coordinadora de esta sección
Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.
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